$E_{m} (- z)$	$= {(- 1)}^{m} E_{m} (z + 1)$
$E_{m} (z + \frac{1}{2})$	$= {(- 1)}^{m} E_{m} (- z + \frac{1}{2})$
$2 z^{m}$	$= E_{m} (z) + E_{m} (z + 1)$
$\sum_{k = 0}^{n - 1} {(z + k)}^{m}$	$= \frac{1}{2} E_{m} (z + n) + \sum_{k = 1}^{n - 1} E_{m} (z + n - k) + \frac{1}{2} E_{m} (z)$
$S_{m} (n) = \sum_{k = 0}^{n - 1} k^{m}$	$= \frac{1}{2} E_{m} (n) + \sum_{k = 1}^{n - 1} E_{m} (n - k) + \frac{1}{2} E_{m} (0)$
$\sum_{k = 1}^{n} {(- 1)}^{k + 1} k^{m}$	$= \frac{1}{2} (E_{m} (1) + {(- 1)}^{n + 1} E_{m} (n + 1))$
$E_{m} ((2 n + 1) z)$	$= (2 n + 1) \sum_{k = 0}^{2 n} {(- 1)}^{k} E_{m} (z + \frac{k}{2 n + 1})$
$E_{m} (z + a)$	$= : {(E (z) + a)}^{m} = : {(E (a) + z)}^{m}$
$E_{m} (z + y)$	$= : {(E (z) + E (y))}^{m}$