Step 0: Matrix A ∈ ℝ n × m , vector b ∈ ℝ m , parameters λ , γ > 0 , θ ∈ [ − 1 , 1 ] , t > 0 , s > 0 , t s > 1 4 ( 1 + θ ) 2 λ max ( A T A ) .
Step 1 Solve the variational inequality
‖ y ‖ − ‖ y ∘ ‖ + ( u − u ˜ k ) T { F ( u ˜ k ) + M ( u ˜ k − u k ) } ≥ 0 (7)
we can get a predicted point u ˜ k .
correct u k + 1 :
u k + 1 = u k − γ α k ∘ M ˜ ( u k − u ˜ k ) (8)
Step 2
y ˜ k = a r g m i n y ∈ Δ m λ ‖ y ‖ + t 2 ‖ y − ( y k + 1 t A T y k − 2 b y k ) ‖ 2 (9)
x k = x k − 1 s + λ ( A ( 1 + θ ) y ˜ k − θ x k ) + y k (10)
Step 3
( y k + 1 x k + 1 ) = ( y k x k ) − γ α k ∘ ( I n ( θ − 1 ) 1 s A I m ) ( y k − y ˜ k x k − x ˜ k ) (11)
where
α k ∘ = ( u k − u ˜ k ) T M ( u k − u ˜ k ) ‖ M ˜ ( u k − u ˜ k ) ‖ H 2 (12)
Step 4 if ‖ A x k − b ‖ 2 ‖ b ‖ 2 ≤ ε end; else for k = k + 1 , do Step 2