Case k

α

γ

π A

π B

1

0 ≤ α < 1 2

γ ≤ γ ¯ 1

0

min { v l , ( 1 − 2 α ) E ( v ) , ( 1 − α − γ ) E ( v ) 1 − ( 1 − α ) γ }

γ ¯ 1 < γ < 1

1 2 α v h

1 2 ( 1 − α ) v h

2

0 ≤ α < α 1

γ ≤ γ ¯ 2

0

min { ( 1 − 2 α ) E ( v ) , 2 ( 1 − α − γ α ) E ( v ) − ( 1 − α ) γ v h 2 − ( 1 − α ) γ }

γ ¯ 2 < γ < 1

1 2 α v h

1 2 ( 1 − α ) v h

α 1 ≤ α < 1 2

γ < 1

v l − ( 1 − 2 α ) E ( v )

0

4

0 ≤ α < 1 2

γ ≤ γ ¯ 4

0

min { v l + ( 1 − 2 α ) E ( v ) , 2 ( 1 − α ) E ( v ) + α γ v l − γ v h 2 − ( 1 − α ) γ }

γ ¯ 4 < γ < 1

1 2 α v h

1 2 ( 1 − α ) v h