Statistic

Expectation Value

$S_1\left(X\right)$

0

$S_2\left(X\right)$

1

$S_3\left(X\right)$

${\left({\text{e}}^{2s^2}-{\text{e}}^{s^2}\right)}^{-\frac{3}{2}}\left(E\left(\frac{9}{2}{s}^2\right)-3E\left(\frac{5}{2}{s}^2\right)+2E\left(\frac{3}{2}{s}^2\right)\right)$

$S_4\left(X\right)$

$E\left(4s^2\right)+2E\left(3s^2\right)+3E\left(2s^2\right)-3$

$S_5\left(X\right)$

${\left({\text{e}}^{2s^2}-{\text{e}}^{s^2}\right)}^{-\frac{5}{2}}\left(E\left(\frac{25}{2}{s}^2\right)-5E\left(\frac{17}{2}{s}^2\right)+10E\left(\frac{11}{2}{s}^2\right)-10E\left(\frac{7}{2}{s}^2\right)+4E\left(\frac{5}{2}{s}^2\right)\right)$

$S_6\left(X\right)$

$\begin{array}{l}E\left(12s^2\right)+3E\left(11s^2\right)+6E\left(10s^2\right)+10E\left(9s^2\right)+15E\left(7s^2\right)\\ +10E\left(6s^2\right)-15E\left(4s^2\right)-20E\left(3s^2\right)-15E\left(2s^2\right)+5\end{array}$