Moments

Bivariate parameters ( m 1 , m 2 , s 1 , s 2 , r )

Means

μ ( X 1 ) = E ( m 1 + 1 2 s 1 2 )

μ ( X 2 ) = E ( m 2 + 1 2 s 2 2 )

Variances

σ 2 ( X 1 ) = E ( 2 m 1 ) ( E ( 2 s 1 2 ) − E ( s 1 2 ) )

σ 2 ( X 2 ) = E ( 2 m 2 ) ( E ( 2 s 2 2 ) − E ( s 2 2 ) )

Symmetric

Expectation Value

C (1, 1)

( ( e s 1 2 − 1 ) ( e s 2 2 − 1 ) ) − 1 / 2 ( e r   s 1 s 2 − 1 )

C (2, 2)

( ( e s 1 2 − 1 ) ( e s 2 2 − 1 ) ) − 1 [ E ( s 1 2 + s 2 2 + 4 r   s 1 s 2 ) − 2 E ( s 1 2 + 2 r   s 1 s 2 )   − 2 E ( s 2 2 + 2 r   s 1 s 2 ) + 4 E ( r   s 1 s 2 ) + E ( s 1 2 ) + E ( s 2 2 ) − 3 ]

C (3, 3)

( ( e s 1 2 − 1 ) ( e s 2 2 − 1 ) ) − 3 / 2 [ E ( 3 s 1 2 + 3 s 2 2 + 9 r   s 1 s 2 ) − 3 E ( 3 s 1 2 + s 2 2 + 6   r ​ ​ ​   ​ s 1 s 2 )   − 3 E ( s 1 2 + 3 s 2 2 + 6   r ​ ​ ​   ​ s 1 s 2 ) + 3 E ( 3 s 1 2 + 3 r ​ ​ ​   ​ s 1 s 2 ) + 3 E ( 3 s 2 2 + 3 r ​ ​ ​   ​ s 1 s 2 )   + 9 E ( s 1 2 + s 2 2 + 4   r ​ ​ ​   ​ s 1 s 2 ) − 9 E ( s 1 2 + 2   r ​ ​ ​   ​ s 1 s 2 ) − 9 E ( s 2 2 + 2   r ​ ​ ​   ​ s 1 s 2 )   + 9 E ( r ​ ​ ​   ​ s 1 s 2 ) − E ( 3 s 1 2 ) − E ( 3 s 2 2 ) + 3 E ( s 1 2 ) + 3 E ( s 2 2 ) − 5 ]

C (4, 4)

( ( e s 1 2 − 1 ) ( e s 2 2 − 1 ) ) − 3 / 2 [ E ( 6 s 1 2 + 6 s 2 2 + 16 r s 1 s 2 ) + 16 E ( 3 s 1 2 + 3 s 2 2 + 9 r s 1 s 2 )   + 36 E ( s 1 2 + s 2 2 + 4 r   s 1 s 2 ) + 6 E ( s 1 2 + 6 s 2 2 + 8 r s 1 s 2 ) + 6 E ( 6 s 1 2 + s 2 2 + 8 r s 1 s 2 )   − 4 E ( 6 s 1 2 + 3 s 2 2 + 12   r ​ ​ ​   ​ s 1 s 2 ) − 4 E ( 3 s 1 2 + 6 s 2 2 + 12   r ​ ​ ​   ​ s 1 s 2 ) − 24 E ( 3 s 1 2 + s 2 2 + 6   r ​ ​ ​   ​ s 1 s 2 )   − 24 E ( s 1 2 + 3 s 2 2 + 6   r ​ ​ ​   ​ s 1 s 2 ) − 4 E ( 6 s 1 2 + 4   r ​ ​ ​   ​ s 1 s 2 ) − 4 E ( 6 s 2 2 + 4   r ​ ​ ​   ​ s 1 s 2 )   + 16 E ( 3 s 1 2 + 3 r s 1 s 2 ) + 16 E ( 3 s 2 2 + 3 r s 1 s 2 ) − 24 E ( s 1 2 + 2   r ​ ​ ​   ​ s 1 s 2 ) − 24 E ( s 2 2 + 2   r ​ ​ ​   ​ s 1 s 2 )   + 16 E (   r ​ ​ ​   ​ s 1 s 2 ) + E ( 6 s 1 2 ) + E ( 6 s 2 2 ) − 4 E ( 3 s 1 2 ) − 4 E ( 3 s 2 2 ) + 6 E ( s 1 2 ) + 6 E ( s 2 2 ) − 7 ]

Asymmetric

Expectation Value

C (2, 1)

( e s 1 2 − 1 ) − 1 ( e s 2 2 − 1 ) − 1 / 2 ( E ( s 1 2 + 2   r   s 1 s 2 ) − 2 E ( r   s 1 s 2 ) − E ( s 1 2 ) + 2 )

C (3, 1)

( e s 1 2 − 1 ) − 3 / 2 ( e s 2 2 − 1 ) − 1 / 2 ( E ( 3 s 1 2 + 3   r   s 1 s 2 ) − 3 E ( s 1 2 + 2   r   s 1 s 2 )   + 3 E (   r   s 1 s 2 ) − E ( 3 s 1 2 ) + 3 E ( s 1 2 ) − 3 )

C (4, 1)

( e s 1 2 − 1 ) − 2 ( e s 2 2 − 1 ) − 1 / 2 ( E ( 6 s 1 2 + 4   r   s 1 s 2 ) − 4 E ( 3 s 1 2 + 3   r   s 1 s 2 )   + 6 E ( s 1 2 + 2   r   s 1 s 2 ) − 4 E (   r   s 1 s 2 ) − E ( 6 s 1 2 ) + 4 E ( 3 s 1 2 ) − 6 E ( s 1 2 ) + 4 )

C (3, 2)

( e s 1 2 − 1 ) − 3 / 2 ( e s 2 2 − 1 ) − 1 ( E ( 3 s 1 2 + s 2 2 + 6   r   s 1 s 2 ) − 3 E ( s 1 2 + s 2 2 + 4   r   s 1 s 2 )   − 2 E ( 3 s 1 2 + 3   r   s 1 s 2 ) + 6 E ( s 1 2 + 2   r   s 1 s 2 ) + 3 E ( s 2 2 + 2   r   s 1 s 2 )   − 6 E (   r   s 1 s 2 ) + E ( 3 s 1 2 ) − 3 E ( s 1 2 ) − E ( s 2 2 ) + 4 )

C (4, 2)

( e s 1 2 − 1 ) − 2 ( e s 2 2 − 1 ) − 1 ( E ( 6 s 1 2 + s 2 2 + 8   r   s 1 s 2 ) − 4 E ( 3 s 1 2 + s 2 2 + 6   r   s 1 s 2 )   + 6 E ( s 1 2 + s 2 2 + 4   r   s 1 s 2 ) − 2 E ( 6 s 1 2 + 4   r   s 1 s 2 ) + 8 E ( 3 s 1 2 + 3   r   s 1 s 2 )   − 12 E ( s 1 2 + 2   r   s 1 s 2 ) − 4 E ( s 2 2 + 2   r   s 1 s 2 ) + 8 E ( r   s 1 s 2 ) + E ( 6 s 1 2 )   + 6 E ( s 1 2 ) − 4 E ( 3 s 2 2 ) + E ( s 2 2 ) − 5 )